Calcul de cosinus et de sinus - Corrigé

Énoncé

Dans chaque cas, calculer la valeur exacte de `\cos(x)` et de `\sin(x)` .

1. `x=\frac{3\pi}{4}`

2. `x=\frac{-5\pi}{6}`

3. `x=\frac{29\pi}{3}`

4. `x=\frac{47\pi}{4}`

5. `x=\frac{-15\pi}{4}`

6. `x=\frac{25\pi}{6}`

Solution

1. \(\dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4}\) donc les points de \(\mathcal{C}\) associés à \(\dfrac{3\pi}{4}\) et \(\dfrac{\pi}{4}\) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, donc :
\(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)    et   \(\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) .
Finalement :  \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et   \(\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) .

2.   \(\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{-5\pi}{6} + \pi\)  donc les points de  \(\mathcal{C}\) associés à \(\dfrac{-5\pi}{6}\) et \(\dfrac{\pi}{6}\) sont symétriques par rapport à l'origine, donc :  \(\cos\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)    et   \(\sin\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2} .\)
Finalement : \(\cos\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et  \(\sin\left(\dfrac{-5\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\) .

3. On a : \(\dfrac{\frac{29\pi}{3}}{\pi}=\dfrac{29}{3} \approx 9,7\)   et \(9<\dfrac{29}{3}<10\)  , donc 
\(\dfrac{29\pi}{3}\) est associé au même point de  \(\mathcal{C}\) que : \(\dfrac{29\pi}{3}-10\pi =\dfrac{29\pi}{3}-\dfrac{30\pi}{3} =\dfrac{-\pi}{3}\)  et donc \(\cos\left(\dfrac{29\pi}{3}\right) =\cos\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)\)  et
\(\sin\left(\dfrac{29\pi}{3}\right) =\sin\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)\) .

Les points de  \(\mathcal{C}\) associés à \(\frac{-\pi}{3}\) et \(\frac{\pi}{3}\) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc :
\(\cos\left(\dfrac{-\pi}{3}\right) =\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) =\dfrac{1}{2}\)    et   \(\sin\left(\dfrac{-\pi}{3}\right) =-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .
Finalement : \(\cos\left(\dfrac{29\pi}{3}\right) =\dfrac{1}{2}\)   et \(\sin\left(\dfrac{29\pi}{3}\right) =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .

4. On a : \(\ \dfrac{\frac{47\pi}{4}}{\pi}=\dfrac{47}{4} =11,75\)   et  \(11<\dfrac{47}{4}<12\) , donc   \(\dfrac{47\pi}{4}\) est associé au même point de  \(\mathcal{C}\) que : \(\dfrac{47\pi}{4}-12\pi =\dfrac{47\pi}{4}-\dfrac{48\pi}{4} =\dfrac{-\pi}{4}\)  et donc \(\cos\left(\dfrac{47\pi}{4}\right) =\cos\left(\dfrac{-\pi}{4}\right)\)  et \(\sin\left(\dfrac{47\pi}{4}\right) =\sin\left(\dfrac{-\pi}{4}\right)\) .

Les points de  \(\mathcal{C}\) associés à  \(\dfrac{-\pi}{4}\) et \(\dfrac{\pi}{4}\) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc :
\(\cos\left(\dfrac{-\pi}{4}\right) =\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)    et  \(\sin\left(\dfrac{-\pi}{4}\right) =-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) .
Finalement : \(\cos\left(\dfrac{47\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)   et \(\sin\left(\dfrac{47\pi}{4}\right) =-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) .

5. On a : \(\dfrac{\frac{-15\pi}{4}}{\pi}=\dfrac{-15}{4} =-3,75\)   et \(-4<\dfrac{-15}{4}<-3\) , donc \(\dfrac{-15\pi}{4}\) est associé au même point de \(\mathcal{C}\) que \(\dfrac{-15\pi}{4}-(-4\pi) =\dfrac{-15\pi}{4}+4\pi =\dfrac{-15\pi}{4}+\dfrac{16\pi}{4} =\dfrac{\pi}{4}\)   et donc \(\cos\left(\dfrac{-15\pi}{4}\right) =\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)   et   \(\sin\left(\dfrac{-15\pi}{4}\right) =\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) .
Finalement : \(\cos\left(\dfrac{-15\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)   et \(\sin\left(\dfrac{-15\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) .